matematika

Dalam kehidupan sehari – hari kita sering melihat seorang sedang mengukur jalan yang akan diperbaiki ataupun gedung bertingkat yang sedang dibangun. Para arsitek tersebut bekerja dengan menggunakan perbandingan trigonometri.
Trigonometri menemukan penggunaannya yang sempurna pada Arsitektur modern. Kurva-kurva nan indah pada permukaan baja, bebatuan, kayu, dan lain-lain dapat diwujudkan karena potensi yang besar dari ilmu ini.

Teknologi pencitraan dari komputer dapat digunakan dalam dunia kedokteran secara luar biasa untuk menemukan sumber beberapa penyakit ganas.
Itu baru sebagian kecil dari manfaat trigonometri, perlu alasan lain untuk menemukan rumus-rumus trigonometri membantu hidup kita.
Berikut beberapa contoh penggunaan trigonometri dalam kehidupan sehari-hari, misalya dalam navigasi untuk menemukan jarak dari pantai ke suatu titik di laut.

Trigonometri umumnya juga digunakan dalam mencari ketinggian menara dan pegunungan.

trigonometri juga digunakan dalam oseanografi dalam menghitung ketinggian gelombang air laut

Digunakan untuk mengukur ketinggian suatu pohon

Trigonometri digunakan dalam menemukan jarak antara benda-benda angkasa

Fungsi sinus dan cosinus merupakan dasar bagi teori fungsi periodik seperti pada gelombang suara dan cahaya.

Arsitek menggunakan trigonometri untuk menghitung beban struktural, kemiringan atap, permukaan tanah dan banyak aspek lain, termasuk bayangan matahari dan sudut cahaya

Hubungan fungsi trigonometri

Fungsi dasar:

\sin A = \frac{a}{c}\,

\cos A = \frac{b}{c}\,

\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}\ = \frac{a}{b}\,

\cot A = \frac{1}{\tan A} = \frac{\cos A}{\sin A}\ = \frac{b}{a}\,

\sec A = \frac{1}{\cos A}\ = \frac{c}{b}\,

\csc A = \frac{1}{\sin A}\ = \frac{c}{a}\,

\sin {(-A)} = -\sin A

\cos {(-A)} = \cos A

\tan {(-A)} = - \tan A

\csc {(-A)} = - \csc A

\sec {(-A)} = \sec A

\cot {(-A)} = - \cot A

Identitas trigonometri

\sin^2 A + \cos^2 A = 1 \,

1 + \tan^2 A = \frac{1}{\cos^2 A} = \sec^2 A\,

1 + \cot^2 A = \frac{1}{\sin^2 A} = \csc^2 A \,

Penjumlahan

\sin (A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \,

\sin (A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B \,

\cos (A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B \,

\cos (A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \,

\tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} \,

\tan (A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B} \,

sin(u)+sin(v)=2sin(\frac {u+v}{2})cos(\frac{u-v}{2})

sin(u)-sin(v)=2cos(\frac {u+v}{2})sin(\frac{u-v}{2})

cos(u)+cos(v)=2cos(\frac {u+v}{2})cos(\frac{u-v}{2})

cos(u)-cos(v)=-2sin(\frac{u+v}{2})sin(\frac{u-v}{2})

Perkalian

2 \sin A \times \cos B = \sin (A + B) + \sin (A - B),

2 \cos A \times \sin B = \sin (A + B) - \sin (A - B),

2 \cos A \times \cos B = \cos (A + B) + \cos (A - B),

2 \sin A \times \sin B = - \cos (A + B) + \cos (A - B),

Rumus sudut rangkap dua

\sin 2A = 2 \sin A \cos A \,

\cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A = 2 \cos^2 A -1 = 1-2 \sin^2 A \,

\tan 2A = {2 \tan A \over 1 - \tan^2 A} = {2 \cot A \over \cot^2 A - 1} = {2 \over \cot A - \tan A} \,

Rumus sudut rangkap tiga

\sin 3A = 3 \sin A - 4 \sin^3 A \,

\cos 3A = 4 \cos^3 A - 3 \cos A \,

Rumus setengah sudut

\sin \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-\cos A}{2}} \,

\cos \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1+\cos A}{2}} \,

\tan \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-\cos A}{1+\cos A}} = \frac {\sin A}{1+\cos A} = \frac {1-\cos A}{\sin A} \,

Aturan Sinus, Cosinus, dan Tangen

Aturan sinus

\frac{a}{\sin A} \,=\, \frac{b}{\sin B} \,=\, \frac{c}{\sin C} \!

Turunan dari aturan sinus

Luasan dari segitiga diatas dapat dirumuskan sebagai

L = \frac{1}{2}bc \sin A = \frac{1}{2}ac \sin B = \frac{1}{2}ab \sin C\,.

Kalikan persamaan diatas dengan

2/abc

maka akan menjadi

\frac{2L}{abc} = \frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}\,.

Aturan cosinus

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma\ ,

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha\,

b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos\beta\,

Aturan tangen

\frac{a-b}{a+b} = \frac{\tan[\frac{1}{2}(\alpha-\beta)]}{\tan[\frac{1}{2}(\alpha+\beta)]}.

Perbandingan Trigonometri Pada Segitiga

Sebuah segitiga dengan salah satu sudutnya berupa
:

Sisi AB merupakan sisi miring segitiga
Sisi BC merupakan sisi depan sudut

Sisi AC merupakan sisi samping sudut

Di sini kita akan mengenal istilah matematika baru, yaitu sinus (sin), cosinus (cos), tangent (tan), cosecan (csc), secan (sec) dan cotangent (cot), yang mana sinus merupakan kebalikan dari cosecan, cosinus kebalikan dari secan dan tangent kebalikan dari cotangent.

Sinus, Cosinus dan Tangent digunakan untuk menghitung sudut dengan perbandingan trigonometri sisi di segitiga. Dengan gambar segitiga diatas, nilai Sinus, Cosinus dan Tangent diperoleh dengan cara sebagai berikut:

, sehingga bisa dihapal dengan sebutan sin-de-mi.

, sehingga bisa dihapal dengan sebutan cos-sa-mi.

, sehingga bisa dihapal dengan sebutan tan-de-sa.

.

Sudut Istimewa

Berikut ini nilai sin, cos, dan tan untuk sudut istimewa:

Dalam Kuadran

Sudut dalam suatu lingkaran, memiliki rentang 0° – 360°, sudut tersebut dibagi menjadi 4 kuadran, dengan masing-masing kuadran memiliki rentang sebesar 90°.

Kuadran 1 memiliki rentang sudut dari 0° – 90° dengan nilai sinus, cosinus dan tangent positif.Kuadran 2 memiliki rentang sudut dari 90° – 180° dengan nilai cosinus dan tangen negatif, sinus positif.Kuadran 3 memiliki rentang sudut dari 180° – 270° dengan nilai sinus dan cosinus negatif, tangen positif.Kuadran 4 memiliki rentang sudut dari 270° – 360° dengan nilai sinus dan tangent negatif, cosinus positif.

Perhatikan tabel trigonometri di bawah ini:

Identitas Trigonometri

Dalam suatu segitiga siku-siku, selalu berlaku prinsip phytagoras, yaitu $a^2+b^2=c^2$ . Pada materi ini, prinsip phytagoras ini menjadi asal pembuktian identitas trigonometri sendiri.

$a^2+b^2=c^2$ bagi kedua ruas dengan $c^2$ , diperoleh persamaan baru $\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}=1$ . Sederhanakan dengan sifat eksponensial menjadi $(\frac{a}{c})^2+(\frac{b}{c})^2$ . Dari persamaan terakhir, subtitusi bagian yang sesuai dengan perbandingan trigonometri pada segitiga, yaitu $\sin \alpha = \frac{a}{c}$ dan $\cos \alpha = \frac{b}{c}$ , sehingga diperoleh $(\sin \alpha^2 + (\cos \alpha)^2 = 1$ atau bisa ditulis menjadi $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ .

Dari identitas yang pertama, dapat diperoleh bentuk lainnya, yaitu:

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ bagi kedua ruas dengan $\cos^2 \alpha$ , diperoleh $(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha})^2 + 1 = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$ dimana $\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \tan \alpha$ dan $\frac{1}{\cos \alpha} = \sec \alpha$ , sehingga diperoleh: $\tan^2 \alpha + 1 = \sec^2 \alpha$

Bentuk ketiga yaitu $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ dibagi dengan $\sin^2 \alpha$ menjadi $1 + \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}=\frac{1}{\sin^2 \alpha}$ , dimana $\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \cot \alpha$ dan $\frac{1}{\sin \alpha} = \csc \alpha$ , sehingga diperoleh persamaan: $1+\cot^2 \alpha = \csc^2 \alpha$ .

Contoh soal

Nomor 1]

Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A ke pelabuhan B dengan kecepatan 40 km/jam selama 2 jam dengan arah 030°, kemudian melanjutkan perjalanan dari pelabuhan B menuju pelabuhan C dengan kecepatan 60 km/jam selama 2,5 jam dengan arah 150°. Buatlah sketsa perjalanan kapal dan tentukan jarak antara pelabuhan A dan C!

Pembahasan:

Jarak = kecepatan x waktu
Jarak pelabuhan A ke B adalah 40 x 2 = 80 km
Jarak pelabuhan B ke C adalah 60 x 2,5 = 150 km

Perhatikan gambar terlampir.
Besar sudut ABC adalah 30° + 30° = 60°
Gunakan aturan cosinus untuk mencari AC

AC² = AB² + BC² - [2 x AB x BC x cos ∠ABC]
AC² = 80² + 150² - [2 x 80 x 150 x cos 60°]
AC² = 28.900 - [2 x 80 x 150 x ¹/₂]
AC² = 28.900 - 12.000
AC = √ 16.900
Diperoleh jarak antara pelabuhan A dan C sejauh 130 km

Titik P dan Q dinyatakan dengan kordinat polar. Tentukan jarak antar titik Pdan Q.

Jawaban:
Dari gambar di atas terlihat bentuk segitiga dan jarak antar titik P dan Q bisa dicari dengan menggunakan aturan cosinus.

Besar sudut POQ = 180^o – (75^o+45^o) = 60^o.
PQ² = OQ² + OP² – 2.OQ.OP cos ∠POQ
PQ² = 3² + 5² – 2.3.5 cos 60^o c
PQ² = 9 + 25 – 30. 0,5
PQ² = 9 + 25 -15
PQ² = 19
PQ = √19 = 4,36

3. Berapa nilai sin 120^o?

Jawaban:
120 = 90 + 30, jadi sin 120^o dapat dihitung dengan
Sin 120^o = Sin (90^o + 30^o) = Cos 30^o (nilainya positif karena soalnya adalah sin 120^o, di kuadran 2, maka hasilnya positif)
Cos 30^o = ½ √3

Atau dengan cara lain:

Sama seperti 180^o-80^o.
Sin 120^o = Sin (180^o – 60^o) = sin 60^o = ½ √3

4. Tentukan nilai dari: 2 cos 75° cos 15°

Jawaban:

2 cos 75° cos 15° = cos (75 +15)° + cos (75 – 15)°
= cos 90° + cos 60°
= 0 + ½
= ½

5. Buktikan bahwa sin⁴ α – sin² α = cos⁴ α – cos² α

Jawaban:

sin⁴ α – sin² α = (sin²α)² – sin² α
= (1 cos² α)²– (1 cos² α)
= 1 – 2 cos² α + cos⁴ α – 1 + cos² α
= cos⁴ α – cos² α

6. Diketahui p dan q adalah sudut lancip dan p – q = 30°. Jika cos p sin q = 1/6 , maka nilai
dari sin p cos q =

Jawaban:
p – q = 30°
sin (p – q)= sin 30°
sin p cos q – cos p sin q = ½
sin p cos q – 1/6 = ½
sin p cos q = ½ + 1/6 = 4/6
jadi nilai sin p cos q = 4/6

7. Pada segitiga ABC lancip, diketahui cos A = 4/5 dan sin B =12/ 13 , maka sin C =

Jawaban:
Karena segitiga ABC lancip , maka sudut A,B dan C juga lancip, sehingga :
cos A = 4/5, maka sin A = 3/5, (ingat cosami, sindemi dan tandesa)
sin B = 12/13, maka cos B = 5/13
A + B + C = 180°, (jml sudut -sudut dalam satu segitiga = 180)
A + B = 180 – C
sin (A + B) = sin (180 – C)
sin A . cos B + cos A.sin B = sin C, (ingat sudut yang saling berelasi : sin(180-x) = sin x)
sin C = sin A.cos B + cos A.sin B
sin C = 3/5.5/13 + 4/5.12/13
sin C = 15/65 + 48/65 = 63/65

8. A dan B titik ujung sebuah terowongan yang dilihat dari C dengan sudut lihat ACB=45˚ ,Jika garis CB =p dan CA=2p√2 , maka panjang terowongan itu adalah…

Jawaban:
Aturan Cosinus
AB²=CB²+CA²-2CA.CB cos C
AB²=p²+(2p√2)²-2(p.2p√2) cos 45˚
AB²=p²+8p²-2(2p²√2)√2/2
AB²=9p²-√2(2p²√2)
AB²=9p²-4p²
AB²=5p²
AB=√5p²
AB=p√5

9. Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi AB=6 cm , besar sudut A=30˚ dan sudut C=120˚,Luas segitiga ABC adalah…

Jawaban:
Panjang CB
a/sinA = c/sinC
a/sin30˚=6/sin120˚
a/sin30˚=6/sin60˚
a/1/2=6/√3/2
a√3/2=3
a=2√3/3 x 3
a=2√3
Luas Segitiga
L=1/2 a x c sin30˚
L=1/2 x 2√3 x 6 x 1/2
L=1/4 x 12√3
L=3√3 cm²

10. Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi AB=6 cm ,BC=8 cm AC=7 cm. Nilai cos A adalah…

Jawaban:
Cos A=(AB²+AC²-BC²)/2(AB . AC)
Cos A=6²+7²-8²/2(6 . 7)
Cos A = 36+49-64/2(42)
Cos A=21/84

11. Nilai dari cos 1200˚ adalah…

Jawaban:

cos 1200˚= cos( 120˚ +3.360˚ )

=cos 120˚

= – cos60˚

= -1/2

12. Pada ∆ ABC diketahui a+b=10 , sudut A=30˚ dan sudut 45˚ , maka panjang sisi b adalah…

Jawaban:
a+b=10
a=10-b
Aturan Sinus
a/sin A = b/sin B
10-b/ sin 30 = b/sin 45
10-b/1/2= b/√2/2
√2/2(10-b)=b/2
(10√2-b√2)/2=b/2
5√2-b√2/2=b/2
5√2=b√2/2 + b/2
5√2=(b√2+b)/2
5√2=b(√2+1)/2
b=5√2 x 2/(√2+1)
b=10√2/(√2+1) x (√2-1)/(√2-1)
b=20-10√2
b=10(2-√2)

Tentukanlah nilai dari $\sin 120^{\circ}+\cos 201^{\circ}+\cos 315^{\circ}$ !

Jawab:

$\sin 120^{\circ}$ berada pada kuadran 2, sehingga nilainya tetap positif dengan besar sama seperti $\sin 120^{\circ} = \sin (180-60)^{\circ} = \sin 60^{\circ} = \frac{1}{2} \sqrt{3}$

$\cos 120^{\circ}$ berada pada kuadran 3, sehingga nilainya negatif dengan besar sama seperti $\cos 120^{\circ} = \cos (180+30)^{\circ} = - \cos 30^{\circ} = - \frac{1}{2} \sqrt{3}$

$\cos 315^{\circ}$ berada pada kuadran 4, sehingga nilainya positif dengan besar sama seperti $\cos 315^{\circ} = \cos (360-45)^{\circ} = \cos 45^{\circ} = \frac{1}{2} \sqrt{2}$

Jadi $\sin 120^{\circ}+\cos 201^{\circ}+\cos 315^{\circ}=\frac{1}{2} \sqrt{3} - \frac{1}{2} \sqrt{3}+\frac{1}{2} \sqrt{2}=\frac{1}{2} \sqrt{2}$

matematika

Kamis, 22 November 2018

Penerapan trigonometri dalam kehidupan sehari hari

Hubungan fungsi trigonometri

Identitas trigonometri

Penjumlahan

Perkalian

Rumus sudut rangkap dua

Rumus sudut rangkap tiga

Rumus setengah sudut

Aturan Sinus, Cosinus, dan Tangen

Aturan sinus

Turunan dari aturan sinus

Aturan cosinus

Aturan tangen

Identitas Trigonometri

Titik P dan Q dinyatakan dengan kordinat polar. Tentukan jarak antar titik Pdan Q.

3. Berapa nilai sin 120^o?

5. Buktikan bahwa sin⁴ α – sin² α = cos⁴ α – cos² α

6. Diketahui p dan q adalah sudut lancip dan p – q = 30°. Jika cos p sin q = 1/6 , maka nilai
dari sin p cos q =

7. Pada segitiga ABC lancip, diketahui cos A = 4/5 dan sin B =12/ 13 , maka sin C =

8. A dan B titik ujung sebuah terowongan yang dilihat dari C dengan sudut lihat ACB=45˚ ,Jika garis CB =p dan CA=2p√2 , maka panjang terowongan itu adalah…

9. Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi AB=6 cm , besar sudut A=30˚ dan sudut C=120˚,Luas segitiga ABC adalah…

10. Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi AB=6 cm ,BC=8 cm AC=7 cm. Nilai cos A adalah…

11. Nilai dari cos 1200˚ adalah…

12. Pada ∆ ABC diketahui a+b=10 , sudut A=30˚ dan sudut 45˚ , maka panjang sisi b adalah…

Kamis, 22 November 2018

Penerapan trigonometri dalam kehidupan sehari hari

Hubungan fungsi trigonometri

Identitas trigonometri

Penjumlahan

Perkalian

Rumus sudut rangkap dua

Rumus sudut rangkap tiga

Rumus setengah sudut

Aturan Sinus, Cosinus, dan Tangen

Aturan sinus

Turunan dari aturan sinus

Aturan cosinus

Aturan tangen

Identitas Trigonometri

Titik P dan Q dinyatakan dengan kordinat polar. Tentukan jarak antar titik Pdan Q.

3. Berapa nilai sin 120o?

5. Buktikan bahwa sin4 α – sin2 α = cos4 α – cos2 α

6. Diketahui p dan q adalah sudut lancip dan p – q = 30°. Jika cos p sin q = 1/6 , maka nilaidari sin p cos q =

7. Pada segitiga ABC lancip, diketahui cos A = 4/5 dan sin B =12/ 13 , maka sin C =

8. A dan B titik ujung sebuah terowongan yang dilihat dari C dengan sudut lihat ACB=45˚ ,Jika garis CB =p dan CA=2p√2 , maka panjang terowongan itu adalah…

9. Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi AB=6 cm , besar sudut A=30˚ dan sudut C=120˚,Luas segitiga ABC adalah…

10. Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi AB=6 cm ,BC=8 cm AC=7 cm. Nilai cos A adalah…

11. Nilai dari cos 1200˚ adalah…

12. Pada ∆ ABC diketahui a+b=10 , sudut A=30˚ dan sudut 45˚ , maka panjang sisi b adalah…

3. Berapa nilai sin 120^o?

5. Buktikan bahwa sin⁴ α – sin² α = cos⁴ α – cos² α

6. Diketahui p dan q adalah sudut lancip dan p – q = 30°. Jika cos p sin q = 1/6 , maka nilai
dari sin p cos q =